Ha három macska három perc alatt három egeret tud megfogni, hány macska fog meg 100 perc alatt 100 egeret? Vigyázat: a válasz nem olyan könnyű, mint amilyennek első pillantásra tűnhet! Gardner-sorozatunk első darabja a szerző hihetetlenül népszerű matematikai fejtörőinek egyik klasszikus válogatása. Az itt összegyűjtött feladványok közös jellemzője, hogy a megoldásuk nem magasabb szintű matematikai jártasságot, hanem logikus gondolkodást, találékonyságot és a szokatlan nézőpontokra, rejtett tényezők feltételezésére való nyitottságot követel. Nemcsak a matematikát kedvelő fiatalok, de a szórakoztató matematika iránt érdeklődő minden korosztály számára bízvást ajánlható, egyszerre mulattató és tanulságos olvasmány, mely a szellemes feladatok megoldását lényegre törő, kristálytiszta magyarázatokkal egészíti ki, miközben rámutat az életünk legkülönbözőbb területén jelenlévő matematikai – kombinatorikai, geometriai, valószínűségszámítási – kihívásokra.
Martin Gardner matematikus, tudományos népszerűsítő, aki a modern szkepticizmus atyjának is tekinthető. Matematikai fejtörőin nemzedékek nőttek fel. Gardner a 20. század második felében megteremtette az érdeklődést a szórakoztató matematika - és ezen keresztül általában a matematika - iránt, elsősorban a "Matematikai játékok" rovatai révén, amelyek huszonöt éven át jelentek meg a Scientific Americanben, majd az ezeket összegyűjtő könyveiben.
Martin Gardner: Szórakoztató matematikai fejtörők (részlet)
Ford.: Kepes János
Ma már bizonyára senki nem vonja kétségbe a matematika elképesztő gyakorlati jelentőségét. Eszközei nélkül aligha volna lehetséges a modern tudomány számos felfedezése és eredménye. Azt azonban nem sokan tudják, hogy a matematikusok valóban örömüket lelik a matematikában. Higgyék el, egy megfelelően irányított gondolattal megoldani egy érdekfeszítő problémát van akkora boldogság, mint a bowlingban tíz bábut egyszerre letarolni egy jól célzott gurítással. L. Frank Baum egyik legmulatságosabb fantasztikus regényében, az Óz Smaragdvárosában Dorka (bácsikája, nénikéje és a Varázsló kíséretében) felkeresi Kelegócia városát a kvarangyok országában. Különleges lakói, a kelegótyák kirakójátékhoz hasonló, leleményesen összeillesztett festett fadarabokból készültek. Ha idegen közeledik, egy kupac különálló darabra szóródnak szét, hogy a látogatónak megadják az újbóli összerakás örömét. Miközben Dorka társasága elindul a városból, Emmi néni megjegyzi:
„– Szó, ami szó, fura egy népség! – ismerte el Emmi néni, távolodóban Kelegóciától. – Csak tudnám, mi hasznukat veszik!
– Órákig elszórakoztunk velük – felelte a Varázsló. – És kárunkra nem vált, annyi szent!
– Szerintem jobb játék volt, mint a pasziánsz vagy a célba dobás! – jegyezte meg józanul Henrik bácsi. – Én bizony örülök, hogy eljöttünk Kelegóciába!”
(L. Frank Baum: Óz Smaragdvárosa. Móra Ferenc Könyvkiadó, Budapest, 1990, 71. Bende Rita fordítása.)
***
A számolásban használt számokat (1, 2, 3, 4…) egész számoknak nevezzük. A számtan (biztosan emlékszünk, Lewis Carroll Ál-Teknőce másztannak nevezte), azt vizsgálja, hogyan viselkednek az egész számok az úgynevezett négy alapművelet, az összeadás, kivonás, szorzás és osztás során. A számtanba tartozik a hatványozás művelete is (egy számot többször megszorozni önmagával), akárcsak a gyökvonás (megkeresni azt a számot, amelyik önmagával valahányszor megszorozva az adott számot adja). Mondanom sem kell, képtelenség megtanulni az algebrát vagy a magasabb szintű matematika bármelyik ágát, ha nem tudunk számolni. Még aki sosem tanult algebrát, az is rájön, hogy a számtan szinte minden elképzelhető szakmához nélkülözhetetlen. A pincérnőnek össze kell adnia a számlán szereplő tételeket, a földművesnek ki kell számolnia a terméshozamot. Még a cipőpucolónak is jól kell visszaadnia az aprót, márpedig az apró visszaadása tiszta számtan. Épp olyan fontos a hétköznapi életben, mint hogy be tudjuk kötni a cipőfűzőt. Ebben a részben a fejtörők megoldásához semmi másra nincs szükség, mint az egyszerű számolás képességére, és hogy
világosan értsük, mit csinálunk.
Színes zoknik
Tíz piros zokni és tíz kék zokni összekeveredett a fiókban. A színüktől eltekintve mind a húsz zokni tökéletesen egyforma. A szobában koromsötét van, nekünk azonban két összeillő zoknira lenne szükségünk. Legalább hány zoknit kell kivennünk a fiókból, hogy biztosan legyen köztük egy összeillő pár?
MEGOLDÁS
Megoldás közben sokan így gondolkodnak: „Tegyük fel, hogy elsőre piros zoknit húztam ki. Kellene egy hozzáillő piros pár, de lehetséges, hogy a következő meg az azután következő meg az azután következő is kék lesz, egészen addig, amíg mind a tíz kék zoknit elő nem vettük a fiókból. Az utána következő zokninak viszont már muszáj pirosnak lennie, a megfejtés tehát: tizenkét zokni. Ez a gondolatmenet azonban valamit nem vett figyelembe. A párnak nem muszáj pirosnak lennie. A lényeg, hogy egyszínűek legyenek. Ha az első kettő nem egyforma színű, a harmadik már biztosan összeillik valamelyikkel, a helyes megfejtés tehát: három zokni.
***
Olyan világban élünk, amelyben mindig minden változik, csak éppen millióféleképpen, és más-más sebességgel. Az ég besötétedéséhez elég pár óra, a banánéhoz több nap is kell. A tapéta színei lassan fakulnak, évekbe telhet, amíg észrevesszük a változást. Vannak egészen szabálytalan változások, például, ahogy testhelyzetünket változtatjuk alvás közben. Mások, például a fogyó és növő Hold fázisai vagy egy molekula atomjainak rezgései még az óraműnél is szabályosabbak. A matematikának a leginkább a változással foglalkozó ága a differenciálszámítás. Fizikus manapság nem is lehet valaki, ha nem ismeri a differenciálszámítást. Ahhoz azonban, hogy ezt megértsük, nagyon sokat kell tudnunk az egyszerű számtannal leírható közönséges, szabályos változásokról. Az ilyen változás legegyszerűbb példája az állandó sebességűnek nevezett helyzetváltoztatás, amelyet a távolság és idő hányadosával írhatunk le:
sebesség = távolság/idő
Ha fejben tartjuk ezt az egyszerű képletet, némi tiszta gondolkodással úrrá lehetünk a következő sebességgel kapcsolatos szokatlan problémán.
Két bicikli meg egy légy
Két, egymástól 20 kilométerre lévő biciklista elkezd nyílegyenesen egymás felé tekerni. Ebben a pillanatban az egyik kerékpáros kormányán ülő légy elkezd repülni a másik felé. Amint elér a másik kormányáig, megfordul, és elindul visszafelé. Így repked oda-vissza egyik biciklikormánytól a másikig, egészen addig, amíg a két biciklista össze nem találkozik. Ha mindkét biciklista óránként 10 kilométer egyenletes sebességgel halad, a légy pedig 15 kilométer per óra sebességgel repül, mekkora távolságot tesz meg a légy?
MEGOLDÁS
Mindkét bicikli 10 kilométert tesz meg egy óra alatt, tehát pontosan egy óra múlva fognak összetalálkozni a 20 kilométeres távolság felezőpontján. A légy óránként 15 kilométer sebességgel repül, tehát egy óra elteltével 15 kilométert fog megtenni. Sokan nehezebb módszerrel próbálják megoldani a feladványt. Kiszámítják a két kormány közt repülő légy útjának első szakaszát, majd a visszaút hosszát, és így tovább, egyre rövidebb szakaszokra. Ehhez azonban a végtelen sorok összegzésének rendkívül bonyolult, magas matematikai módszere szükséges. Azt mondják, ezt a kérdést egyszer egy koktélpartin felették Neumann János magyar matematikusnak, aki 1957-ben, halála idején talán a világ legnagyobb matematikusa volt. Egy percet gondolkodott, majd közölte a helyes választ. A kérdés feltevője kissé csalódottnak tűnt. El is mondta az okát: hogy a legtöbb matematikus, szem elől tévesztve az egyszerű megoldást, a végtelen sorok összegzésének hosszadalmas műveletéhez folyamodik.
Neumann meglepődött:
„De hiszen én is így oldottam meg!”
– felelte.
***
Bagóné cigarettái
Bagóné, akik ezer éve megrögzött dohányos, végül elhatározza, hogy felhagy a cigarettázással. „Elszívom a maradék huszonhét cigit – fogadkozik magában –, aztán soha többet nem gyújtok rá.”
Bagónénak az a szokása, hogy mindegyik cigarettának csak a kétharmadát szívja el. Hamar rájön, hogy egy kis cellux segítségével három csikkből össze tud ragasztani egy újabb cigarettát. A maradék huszonhét cigarettával végül is hány cigit szívhat el, mielőtt teljesen lemondana a bagóról?
MEGOLDÁS
Miután Bagóné elszívta a 27 cigit, még 9-et össze tud eszkábálni a csikkekből. Az a 9 cigaretta további 3 szíváshoz elegendő csikket biztosít. Végül a 3 utolsó cigarettavégből még egy utolsóra futja. Ez tehát összesen: 40 cigaretta. Bagóné ezután már nem is szív többet: a legutolsó cigi végül is betesz neki.
