Egy új kötet úgy meséli el a matematika történetét, mint amilyen valójában: gyönyörűen kaotikus. A számok titkos élete című könyv története Hüpatiától, az első nagy matematikusnőtől vezet el bennünket Karen Uhlenbeckig, az első nőig, aki elnyerte az Abel-díjat, amit a matematikus Nobel-díjaként szoktak emlegetni. Tudósok, csillagászok és matematikusok tárják fel nekünk a számok világának rejtett igazságait. Olvass bele!
Kate Kitagawa, Timothy Revell: A számok titkos élete (részlet)
14.
A csillagok feltérképezése
1800-at írtak, és az égi rendőrség egy eltűnt gyanúsítottat keresett. Zách János Ferenc és Johann Hieronymus Schröter magyar és német csillagászok egy több mint húsz európai tudósból álló csoportot hoztak létre, amely egyfajta kozmoszpolgárőrségként működött. Eltűnt gyanúsítottjuk egy bolygó volt, amelyről úgy vélték, hogy valahol a Mars és a Jupiter között helyezkedik el.
Ez a hiedelem akkor kezdődött, amikor William Herschel 1781-ben felfedezte az Uránuszt. Ő volt az egyik fele a csillagászduónak a nővérével, Caroline Herschellel. Együtt sok égi objektumot fedeztek fel, bár Caroline ennél a bizonyosnál éppen nem volt jelen. A felfedezés egy évtizedekkel korábban javasolt matematikai törvényt helyezett a figyelem középpontjába. A Titius–Bode-szabály kimondta, hogy a bolygók olyan helyeken keringenek a Nap körül, amelyek távolsága megduplázódik, ha kifelé haladunk. Az Uránusz felfedezése összhangban volt ezzel a sorozattal, de ha a törvény érvényesül, akkor a Mars és a Jupiter között is kellett volna lennie egy bolygónak. Az égi rendőrség pedig eltökélte, hogy megtalálja.
Azonban alig kezdték el a keresést, amikor máris megelőzték őket – legalábbis úgy tűnt.
Giuseppe Piazzi olasz pap és csillagász észrevett valamit, amit először üstökösnek hitt, de hamarosan úgy vélte, hogy az eltűnt bolygó, és Ceresnek nevezte el. A Ceres azonban túl kicsi volt ahhoz, hogy bolygó legyen; valójában egyike volt azoknak az új keletű aszteroidáknak, amelyekről Herschelék beszéltek. E kezdeti kudarc után az égi rendőrség folytatta a keresést. A következő években még több aszteroidát találtak hasonló helyen, köztük a Pallast, a Vestát és a Junót, de bolygót nem.
Az égi rendőrség végül arra a következtetésre jutott, hogy a Mars és a Jupiter között nincs bolygó, de van egy kisbolygóöv. Sokan úgy gondolták, hogy az öv egy elpusztult bolygó maradványa lehet, ami azt jelentette volna, hogy a Titius–Bode-szabály még mindig érvényes. Évekkel később a Neptunusz „rossz” helyen való 1846-os felfedezése megdöntötte a törvényt.
A Mars és a Jupiter közötti bolygó keresése talán hiábavaló volt, de maga a kutatás két dolgot világossá tett. Először is, a csillagászoknak több adatra volt szükségük. A Naprendszerben és azon túl még rengeteg felfedeznivaló van – csak keresni kell. Másodszor pedig szükségük volt a matematikára, hogy elemezzék a megfigyelésekből és az új fényképezési technikákból származó adatokat. A csillagászati adatok rögzítése és elemzése a huszadik század egyik legfontosabb tudományos fejlesztése lett, amely egy százéves nemzetközi együttműködést indított el az égbolt feltérképezése és a Holdra utazás érdekében. Mindennek középpontjában pedig egy új munkakör állna – az „emberi számítógép”.
Nézzünk fel!
A történelem során számos civilizáció és kultúra készített lenyűgöző térképeket az éjszakai égboltról. Egy ilyen térkép legkorábbi fennmaradt példánya a kínai Tang-dinasztia idejéből, a kilencedik századból származik, de a kínai csillagászok már legalább 1500 évvel korábban feltérképezték a csillagok helyzetét. Az ókori babilóniai, maja, arab és görög matematikusok és csillagászok idejük nagy részét az éjszakai égbolt nyomon követésével töltötték.
A tizenkilencedik században a fényképezés feltalálásával vált lehetővé, hogy valóban megörökítsük a világegyetem egy-egy pillanatát.
Kezdetben ez egy rendkívül speciális és drága technológia volt, de a huszadik század fordulójára az olcsóbb és egyszerűbb fotózási technikák kifejlesztésével valóban megnyíltak a lehetőségek az éjszakai égbolt fényképezésére.
Ernest Mouchez, francia tengerésztiszt, majd a párizsi csillagvizsgáló igazgatója, meglátta az ezekben az új fényképészeti technikákban rejlő lehetőségeket. Az előző évtizedet Paraguay, Brazília és Algéria partjainak felmérésével töltötte, továbbá megfigyelte a Vénusz átvonulását az Indiai-óceánon lévő Szent Pál-szigetről. Ez idő alatt megismerkedett a szárazlemezes fényképezéssel, egy olyan technikával, amely a fotográfia számos, a fotósok számára legbonyolultabb részét leegyszerűsítette. 1882-ben a Nagy Üstökös láthatóvá vált az égen, kezdetben a Jóreménység fokánál és a Guineai-öbölben, ahol olyan fényes volt, hogy napközben is lehetett látni. Az üstökös az északi féltekéről is észlelhető volt, de nem olyan tisztán, és ez elgondolkodtatta Mouchezt.
Mouchez összefogott David Gillel, egy Dél-Afrikában élő skót csillagásszal, és 1887-ben egy párizsi kongresszuson, a nemzetközi csillagászati konferencián bejelentette új projektjét, amelynek célja, hogy szárazlemezes módszerrel lefényképezze és feltérképezze a teljes éjszakai égboltot. Ez a terv minden korábbi kísérletnél ambiciózusabb volt, ezért Mouchez és Gill a kongresszuson a világ minden tájáról segítséget kért. Huszonkét csillagvizsgáló válaszolt a felhívásra, köztük európai, afrikai, ázsiai és dél-amerikai csillagvizsgálók.
A projektnek két kapcsolódó eleme volt, a Catalogue Astrographique (Csillagkatalógus) és a Carte du Ciel (Az égbolt térképe), és a cél az volt, hogy minden 11,0 magnitúdónál fényesebb csillagot lefényképezzenek és térképre vigyenek. A magnitúdóskála nem valami kézenfekvő, mivel a kisebb és negatív számok fényesebb objektumokat jelölnek, mint a nagyobb számok. A Sarkcsillag magnitúdója 2 körül van. A skála furcsaságait figyelembe véve ez azt jelenti, hogy a projekt során minden olyan csillagot katalogizáltak, amelynek fényessége nagyobb a Sarkcsillag fényességének -ed részénél.
A csillagvizsgálók hasonló üveglemezeket, távcsöveket, nagyítókat és megvilágítási időket használtak, hogy az égbolt egyes részeinek mérésekor az egységességet biztosítsák. Mindegyik fénykép körülbelül 13 × 13 centiméteres volt, és az égbolt egy kis, 2,1° × 2,1°-os szelvényét rögzítette. A projekt célja az volt, hogy az adatokat körülbelül tíz-tizenöt év alatt megszerezzék.
Végül is ez a folyamat közel száz évig tartott. A lefényképezett csillagok és más égi objektumok millióit kézzel kellett elemezni, ezért emberi számítógépeket gyűjtöttek össze, hogy segítsenek ebben.
Az ezeken a projekteken dolgozók képzett csillagászati matematikusokká váltak, sokan közülük olyan technikákat fejlesztettek ki, amelyeket később is használtak a csillagászatban.
A Harvard számítógépei
Egy csillagász, Edward Charles Pickering és az általa vezetett Harvard College Csillagvizsgáló nagyban hozzájárult volna a Catalogue Astrographique és a Carte du Ciel elkészítéséhez. Pickering a Holdról készített figyelemre méltó képeiről vált híressé, amelyek olyan részletességgel örökítették meg kísérőnket, hogy inkább tűntek egy földönkívüli által készített festményeknek, mint a Földről készített fényképeknek. A csillagvizsgáló igazgatójaként hozzáférhetett Észak-Amerika akkori legnagyobb távcsövéhez, és egy adományozás nyomán egy második nagy teljesítményű távcső is a kezébe került – ám ez egy kis gondot okozott neki.
A távcsövet Mary Anna Palmer Draper ajándékozta a csillagvizsgálónak. A nő gazdag amatőr csillagász volt, akárcsak férje, Henry, aki 1840-ben elsőként fényképezte le a Holdat. Amikor Henry váratlanul meghalt, Mary a távcsövüket a csillagvizsgálónak adományozta, és egy emlékalapot hozott létre, hogy segítsen az ott végzett munka finanszírozásában. Pickeringnek és csapatának nem volt szüksége bátorításra, rengeteg fényképet készítettek a távcsővel, de hamarosan lemaradtak az elemzéssel. Összesen 120 tonna fotólemezük volt az égboltról, amelyet fel kellett dolgozniuk.
Pickeringnek több embert kellett felvennie, hogy segítsenek a feldolgozásban.
Otthoni alkalmazottai között volt egy Williamina Fleming nevű nő, aki cselédként dolgozott, miután férje elhagyta őt, és egyedül kellett kisfia eltartásáról gondoskodnia. Pickering felesége, Elizabeth észrevette, hogy Fleming rendkívül éles eszű nő, és felvetette, hogy segíthetne Pickeringnek. Fleming megtanulta Pickeringtől az asztrofotó-elemzés alapvető eszközeit, és fizetett számítógépként kezdett dolgozni a csillagvizsgálóban – igaz, feleannyit kapott, mint egy hasonló pozícióban lévő férfi. Hamarosan kitűnően teljesített a feladatban, és további felelősséget vállalt, a csillagászati fényképek felügyelőjeként segítette a csapat munkáját. Ennek eredményeként ő lett az első nő, aki hivatalos címet viselt a Harvard Egyetemen.
A legtöbb felvételt továbbra is férfi csillagászok készítették, de a matematikai elemzés női munkává vált. Pickering később mintegy nyolcvan női számítógépet vett fel. A költségek voltak az egyik fő tényező, amely döntését befolyásolta; mindazonáltal a harvardi számítógépek úttörőkké váltak a csillagászat területén, és fontos módszereket fejlesztettek ki a látottak elemzésére és osztályozására. A képeken mintázatok voltak, és ezek a nők nekiláttak, hogy megtalálják azokat.
Antonia Maury – Mary Anna Palmer Draper és Henry Draper unokahúga – is azok között volt, akik csatlakoztak Pickering és Fleming csapatához. Maury az egyetemen tanult csillagászatot Maria Mitchelltől, az első amerikaitól, aki felfedezett egy üstököst. Tudta, hogyan kell gyorsan katalogizálni az égi objektumokat, és ezt a tudást hozta magával a csillagvizsgálóba. Fleming egyik első feladata ott az volt, hogy javítsa a csillagoknak a róluk rögzített fény hullámhossza – a spektrum – alapján történő osztályozásának módját. Ezeket a hullámhosszakat spektroszkóppal rögzítették, egy olyan műszerrel, amely a távcsőből érkező fényt hullámhosszakra bontja. A különböző hullámhosszok jelenléte vagy hiánya egyfajta kémiai jellegzetességként szolgál a csillag esetében is, ami lehetővé teszi a csillagászok számára a benne lévő elemek meghatározását. Fleming kidolgozott egy rendszert – a Fleming–Pickering-rendszert – a csillagok osztályozására a bennük található hidrogén mennyisége alapján.
Maury is használt spektrumokat a munkájában. Pickering felfedezte az első kettőscsillagot – gravitációsan egymáshoz kötött csillagpárt –, és megkérte Mauryt, hogy számolja ki, milyen a pályájuk. Ő pedig a színkép mintázatainak elemzésével meg tudta mondani, hogyan mozog a kettőscsillag.
Annie Jump Cannon csatlakozott a csoporthoz, és kitalálta a csillagok színkép alapján történő osztályozásának új módját. A csillagászattal édesanyja, Mary Jump fertőzte meg. Annie gyermekkorában egy régi csillagászati tankönyvet használtak a csillagképek azonosítására, amelyeket a padlásról néztek. Mary arra bátorította lányát, hogy a massachusettsi Wellesley College-be járjon fizikát és csillagászatot tanulni, amit meg is tett, mielőtt a harvardi számítógépek egyikévé vált. Jump Cannon személyesen 350 000 csillagot kategorizált – többet, mint bárki más –, Pickering halála után pedig átvette a csapat irányítását. Legmaradandóbb öröksége az volt, hogy a csillagok hőmérsékletét beépítette a Fleming–Pickering osztályozási rendszerbe. Ez az új rendszer a Harvard-féle színképosztályozási rendszer néven vált ismertté, és ma is használják.
A kutatócsoport egy másik tagja, Henrietta Swan Leavitt felfedezte, hogy a Cefeida-típusú változóknak nevezett csillagok fényessége és a fényesség pulzálásának periódusa összefüggenek – ez a megfigyelés Leavitt-törvényként ismert. A Leavitt-törvény lehetővé teszi, hogy kiszámítsuk egy cefeida változó tényleges fényességét, és ezt összehasonlítva azzal, hogy a csillag milyen fényesnek látszik, meg lehet határozni, hogy milyen messze van. A cefeida változókat ma már a galaktikus és extragalaktikus távolságok egyik legfontosabb mérőeszközének tekintik, és
a Leavitt-törvény megfogalmazása a világegyetem jobb megértéséhez vezetett, különösen, ami a méretét illeti.
Gösta Mittag-Leffler, ugyanaz a férfi, aki Szofja Kovalevszkajának segített, Nobel-díjra akarta jelölni Leavittet a felfedezéséért, de sajnos a nő meghalt, mielőtt a jelölést benyújtotta volna. Amikor értesült a tervezett jelölésről, a Harvard Csillagvizsgáló akkori igazgatója, Harlow Shapley írt Mittag-Lefflernek, és megpróbálta magához ragadni az elismerést. Ez a történet túlságosan is ismerős volt a harvardi számítógépek számára, akiket néha becsmérlően „Pickering háremének” neveztek. A Harvard College Csillagvizsgáló kiadványaiban nagyon ritkán kaptak elismerést. Maury 1891-ben tiltakozásul távozott, és amikor Pickering megkérte, hogy térjen vissza, a következőket mondta: „Nem tartom igazságosnak, hogy át kell adnom a munkát más kezekbe, amíg el nem ismerik, hogy az az én munkám. Az elméletet sok gondolkodás és alapos összehasonlítás révén dolgoztam ki, és úgy gondolom, hogy azért teljes megbecsülést kell kapnom.”
Maury visszatért a csillagvizsgálóba, és 1897-ben „A Henry Draper Memorial keretében a 11 hüvelykes Draper-távcsővel lefényképezett fényes csillagok spektrumai, amelyeket Antonia C. Maury elemzett Edward Charles Pickering irányításával” címmel egy osztályozási katalógust tett közzé. Ez volt a Harvard College Csillagvizsgáló első olyan kiadványa, amelynek szerzőjeként egy nő neve is szerepelt. Annak ellenére, hogy Fleming 1899-ben hivatalosan is megkapta a felügyelői szerepet, csak 1908-ban került fel a neve a Harvard által készített, a csillagokról és azok színképéről szóló katalógusok egyikébe.
Nehéz tagadni a harvardi számítógépek eredményeit. Több millió csillagot dokumentáltak és elemeztek; újraírták a csillagok kategorizálásának szabályait. Bár hivatalosan soha nem csatlakoztak a Catalogue Astrographique és a Carte du Ciel projekthez – Pickering úgy vélte, hogy az egyszerűen túl ambiciózus és túl időigényes a csillagászok számára –, Mouchez és Gill projektje átvette a Harvard csapat által kifejlesztett technikákat és szabványokat.
Még néhány fénykép
A harvardi számítógépek nem az egyedüli emberi számológépek és elemzők voltak. Hasonló embercsoportokat toboroztak a Catalogue Astrographique és a Carte du Ciel munkálataihoz. Voltak köztük nők is, például Gill dél-afrikai csillagvizsgálójában, bár róluk nagyon kevés részletet jegyeztek fel. A vatikáni csillagvizsgálóban egy apácákból álló csapat végezte az elemzéseket, és sok nő dolgozott az adelaide-i, sydney-i, melbourne-i és perth-i csillagvizsgálóban is. Mouchez és Gill ambiciózus projektje azonban még a nagyszámú emberi számítógép ellenére is kicsúszott az irányításuk alól. Az első felvételek 1891-ben készültek, az utolsó csak 1950-ben, és még akkor is sok kép évekig feldolgozatlan maradt.
A késedelem nagy részét az okozta, hogy a projekt egyszerűen túlságosan nagy volt. Áldozatul esett a világesemények következményeinek is.
Mexikóban például Ángel Anguiano építészt, mérnököt és a Nemzeti Csillagvizsgáló első igazgatóját kérték fel a projektben való részvételre, de 1910-ben kitört a polgárháború, ami a mexikói forradalomhoz vezetett. Ugyanebben az időszakban az első világháború miatt késett a felvételek készítéséhez szükséges felszerelések beszerzése.
A Catalogue Astrographique végül 1987-ben készült el, száz évvel a projekt kezdete után. Kezdetben tisztán tudományos szempontból messze nem volt sikeres – mire elkészült, már fejlettebb fényképészeti és elemzési módszereket fejlesztettek ki –, de előkészítette az utat a későbbi ambiciózus globális projektek számára. A Carte du Ciel soha nem készült el.
A 2000-es években a projekt mindkét részéből származó adatok és képek iránti érdeklődés újjáéledt. A nyomtatott katalógusokat gépileg olvasható formátumba konvertálták, így gazdag történelmi adattárat hoztak létre, és a műholdas távcsövekkel készített modernebb csillagkatalógusokkal való összehasonlítás révén ezekből az adatokból több millió csillag mozgását lehetett követni.
A világűrért folytatott verseny
Emberi számítógépek már e csillagászati fellendülés előtt is léteztek. A csillagászok és matematikusok évtizedeken keresztül asszisztenseket alkalmaztak a számítások elvégzésére. A tizennyolcadik századi tudós, Alexis Claude Clairaut dolgozta ki, hogyan lehet a számítások egyes részeit úgy elosztani, hogy párhuzamosan lehessen elvégezni őket, és ezzel elindította azt a mozgalmat, amelyben sok különböző ember egyszerre dolgozhatott egy válaszon. Számos égi objektum pályáját rögzítették ilyen módon. Az Egyesült Államok Kommunikációs Hadtestje összeállított egy csapatot, amely intenzív kétórás műszakokban dolgozva kiszámította az időjárási mintázatokat. Kezdetben ritkán alkalmaztak nőket számítógép munkakörben, de ez a tizenkilencedik század közepén-végén kezdett megváltozni. A huszadik századra a számítógépek túlnyomó többsége nő volt.
Számítógépcsoportok alakultak a statisztikai elemzések elvégzésétől kezdve a hollandiai Afsluitdijk gátra nehezedő feszültségek kiszámításáig mindenre.
A két világháború volt azonban az, ami igazán megnövelte az emberi számítógépek iránti keresletet, és a szerepüket inkább szakmává tette.
A számítógépek mindkét oldalon hosszadalmas számításokat végeztek, hogy navigációs táblázatokat és térképhálózatokat készítsenek, kódokat elemezzenek, és megjósolják a rakéták útvonalát.
Amikor az USA és a Szovjetunió között megkezdődött az űrverseny, a női számítógépekre ismét szükség volt a fontos számítások elvégzéséhez. Már 1951-ben egy matematikusnőkből álló csapat megtervezte az első digitális számítógépet a Szovjetunióban. A női számítógépek a Szovjetunióban csillagászati katalógusok számításain, spektrális információk feldolgozásán és adatbankok létrehozásán is dolgoztak. Pelageja Sajn például több mint 150 új változócsillagot fedezett fel, emellett 40 új kisbolygót, valamint egy üstököst, amelyet róla neveztek el. Szofja Romanszkaja 20 700 megfigyelést végzett a Föld forgásáról. Jevgenyija Bugoszlavszkaja tankönyvet írt a fotografikus csillagászatról, Nagyezsda Szitinszkaja pedig a Hold-megfigyelések adatait dolgozta fel.
Az amerikai oldalon afroamerikai nők egy csoportja, akiket A számolás joga (Hidden Figures) című könyv és a 2016-os film is ünnepel, hasonlóan központi szerepet játszott az űrversenyben, Katherine Johnsonnal az élen.
Ő a karrierjét a Nemzeti Repülésügyi Tanácsadó Testületnél (National Advisory Committee for Aeronautics – NACA) kezdte, amely később a NASA részévé vált. Kezdetben egy olyan csoport tagja volt, amely a repülőgépek feketedobozaival kapcsolatos számításokat végzett, de egy nap ideiglenesen a kizárólag fehér férfiakból álló repüléskutató csoport segítésére osztották be. Matematikai és geometriai ismeretei olyan erősek voltak, hogy véglegesen az Irányítási és Vezérlési Osztályra tették át. Itt segített azokon a számításokon dolgozni, amelyek segítségével az első amerikaiakat, Alan Shepardot az űrbe, John Glennt pedig Föld körüli pályára juttatták; de később az Apollo-missziók Holdra vezető útjainak kiszámításában is közreműködött.
A rakétatudomány elvileg nem lehet olyan nehéz. A gravitáció és a mozgás törvényei alapján meglehetősen egyszerű felírni az egyenleteket, amelyek egy űrbe vagy a Hold körüli útra induló rakétát irányítanak. Az egyenletek tényleges megoldása azonban sok esetben gyakorlatilag lehetetlennek bizonyul. Numerikus módszereket kell alkalmazni a megoldások közelítésére. Egy holdutazáshoz a pálya mentén ezer és ezer közelítésre van szükség, ha biztosak akarunk lenni abban, hogy semmi sem romlik el. Ahogy Katherine Johnson mondta: „A Holdra készültek. Én kiszámítottam azt az útvonalat, amely oda vezet. Meghatároztad, hogy hol vagy a Földön, mikor indultál el, és hol lesz a Hold egy adott időpontban. Megmondtuk nekik, hogy milyen gyorsan kell menniük, és a Hold ott lesz, mire odaérnek.”
Az egyik alkalmazott numerikus technika az Euler-módszer volt. A módszer lényege egyszerű: ahelyett, hogy a teljes differenciálegyenletet próbálnánk megoldani, inkább számítsuk ki az értékeit néhány konkrét ponton, és kössük össze a pontokat. Az eredmény a tényleges megoldás közelítése, és minél kisebb a pontok közötti távolság, annál közelebb van a valódi válaszhoz. Ebben rejlik azonban a kompromisszum. A pontosság nyilvánvalóan fontos, amikor a Holdra utazunk – nem akarjuk elvéteni! –, de minden egyes számítás időigényes, és ha túl nagy pontosságra van szükség, évtizedekig is eltarthat az elemzés befejezése.
Nem csoda, hogy amikor megjelent egy új technológia, amely a számítások jelentős felgyorsítását ígérte, gyorsan átvették.
Amikor az IBM 7090-esek megérkeztek, a vállalat azt mondta, hogy egyetlen másodperc alatt több százezer összeadást és kivonást tud elvégezni. Helyesen alkalmazva ez nagymértékben felgyorsítaná az embereknek az űrbe juttatásához szükséges számításokat. A női számítógépek közül sokan felismerték az új technológia fontosságát, és átképezték magukat számítógépes programozónak. Evelyn Boyd Granville az IBM-nél például a NASA sok számításán dolgozott, köztük azokon is, amelyek John Glenn első körének belépési pontját és kilövési ablakát adták meg. Néhányan azonban nem bíztak a technikában. A repülés előtt John Glenn híres követelése így hangzott: „Hívd a lányt, hogy ellenőrizze a számokat!”. A „lány” Katherine Johnson volt.
A matematika nagyon is fontos eszköz, amikor az űrrepülésről van szó. A közelítések elég jók, ha ismerjük a hibahatárokat. Soha nem kell pontosan eltalálni a célt. Lehet, hogy a mozgástér csak néhány milliméter, lehet, hogy több. Bár a pontosság fontos, a tökéletesség nem. Ez azonban a matematika nagy részére nem érvényes, nevezetesen azokon a területeken, ahol a lényeg az, hogy pontos összefüggéseket fedezzünk fel bizonyos dolgok között. Ezek lehetnek a geometriai idomok vagy a matematikai függvények tulajdonságai, vagy akár a számegyenes azon pontja, ahol valami történik. Egy ilyen dolog pontos száma matematikailag fontos lehet, még akkor is, ha az elképesztően hatalmas.
