Melyik a valószínűbb: ránk zuhan egy repülőgép, vagy telitalálatunk lesz a lottón? A II. világháborúban véletlenszerű mintázatban hullottak Londonra a cirkálórakéták, vagy a németek képesek voltak az irányításukra? Ha egy ritka betegség kimutatására végzett teszt eredménye pozitív lett, mi a valószínűsége annak, hogy valóban beteg vagyok? Keszthelyi Gabriella matematikus könyvében arra keresi a választ, miképpen szövik át a valószínűségek a mindennapjainkat, hogyan függ össze a matematikai és a kritikai gondolkodás.
Világos, gyakorlatias és izgalmas példák bemutatásával tömören végighalad a valószínűségszámítás történetén, miközben számtalan érdekességet is megoszt velünk. Sok látszólagos ellentmondást és kognitív torzítást taglalva megvilágítja, mi gátol bennünket abban, hogy helyesen ítéljük meg bizonyos események bekövetkezésének valószínűségét.
Keszthelyi Gabriellával a Milyen színű a valószínű? című könyvéről Papp Eszter fizikus, tudományos nagykövet beszélget 16:00-kor egy nyilvános podcastfelvétel keretében. A szekció zárásaként 18:45-kor a szerző Daniel Tammet brit szám- és nyelvzsenit kérdezi a Lehet-e kék a valószínű? című könyvéről.
Részletes program itt. A technológia szekció támogatója a Samsung. Vedd meg a jegyed itt!
A Futurotheca főtámogatója az Erste, mert ha ismered önmagad és a világot, könnyebb hinni a jövődben. Higgy magadban! Az Erste már hisz benned.
Keszthelyi Gabriella: Milyen színű a valószínű? - A véletlen matematikája (részlet)
Az embereket mindig is mélyen foglalkoztatta, hogy milyen erők dolgoznak a világban, mi mozgatja a dolgokat, és milyen jövő vár rájuk. Jelen ismereteink szerint mi vagyunk az egyetlen élőlények, akik tudják magukról, hogy meg fognak halni, ezért agyi aktivitásunk nagy részét is arra fordítjuk, hogy ezt az eseményt a lehetőségekhez mérten elodázzuk.
Ugyanakkor nemcsak azt szeretnénk tudni, hogy mi és hogyan lesz (mi a sorsunk, végzetünk), hanem hogy mi és hogyan volt (mi a magyarázat a már megtörtént jelenségekre), és ezt a kettőt egy narratívában akarjuk egyesíteni. Időnk végessége rákényszerít minket arra, hogy strukturáljuk azt, jelentést adjunk neki.
A narratíva egy másik fontos szükségletünket is kielégíti: a bizonytalanság és a kockázat csökkentését.
Tudatosan és tudattalanul is rengeteg időt és energiát fordítunk arra, hogy mérlegeljünk, döntéseket hozzunk, aztán pedig a döntések lehetséges következményeit mérlegeljük, és újabb döntéseket hozunk. Kapcsolatunk a világgal és a benne rejlő lehetőségekkel alapvetően formálta a valószínűség fogalmát, később pedig az ellentétes folyamat is beindult: a valószínűség formálta a következtetéseinket, döntéseinket.
Pár ezer éves feljegyzett kultúránkban számtalanszor próbálkoztak ezzel az emberek a tudomány és a vallás keretein belül, de maga a folyamat nem mindig alapos átgondolás mellett zajlik. Sokszor teljesen öntudatlanul mérlegelünk lehetőségeket, vonunk le következtetéseket, vagy hozunk döntéseket. Ebben a könyvben főleg a tudomány által adott válaszokat vesszük górcső alá.
Az oksági és valószínűségi magyarázatok és ezek minden arányú keveréke átszövik mindennapjainkat: tudatosan és mindenféle átgondolás nélkül is használjuk őket.
Véletlen, bizonytalan, kockázatos, valószínű, sanszos, random, várható, esélyes, szerencsés… ezek mind hasonló, mégis egy kicsit más jelentésű szavak: vannak közöttük pozitív kicsengésűek, és arra utalók, hogy egy esemény inkább bekövetkezik, mint nem (például valószínű, sanszos, esélyes), illetve negatívabbak, mint a bizonytalan, random, kockázatos. Sokszor azonban nem világos, hogy pontosan mit értünk alattuk, nem egyértelmű a használatuk. Ez persze nem csak a magyar nyelvben van így, az 1960-as években a CIA-nál dolgozó Sherman Kent egy egész protokollt fejlesztett ki az ilyen jellegű kifejezések korrekt alkalmazására:
certain (biztos) = 100%
almost certain (majdnem biztos) = 93%
probable (valószínű) = 75%
chances about even (esélyek kb. egyenlőek) = 50%
probably not (valószínűleg nem) = 30%
almost certainly not (majdnem biztosan nem) = 7%
impossible (lehetetlen) = 0%
Konvenciója végül nem épült be a mindennapokba (még a CIA-ba se), pedig használatával ma is sok félreértést el lehetne kerülni.
De nem egyszerűen a szavak megfelelő használatáról van szó: ebben a fejezetben áttekintjük a fogalom legkorábbi megjelenéseit és kialakulásának körülményeit, amelyeket többnyire a végzettel, a bizonytalansággal és a szerencsével asszociáltak. A valószínűség jelentésének alakulása a mai napig hat arra, hogy mi hogyan érzékeljük azt.
Ahogy azt Pierre Redmont megfogalmazta:
„Az emberek […] hajlamosak egy végzetes és vakon működő erőt társítani a jóhoz, a rosszhoz és általában minden történéshez ebben a világban. Azt hiszik, hogy Fortunát le kell kenyerezniük, hogy kedvezzen nekik; ezért én úgy gondolom, hogy mindenkinek (nem csak a szerencsejátékosoknak) hasznos lenne tudnia, hogy a valószínűségeknek vannak szabályaik, és ezek a szabályok megismerhetők. Ismeretük hiánya hibákhoz vezet, amelyek miatt nem a sors, hanem saját maguk okolható.”
Már a görögök sem vágták
A valószínűség fogalma kivételesen nem az ókori görögöktől származik. A probabilitas (valószínűség) szó etimológiája a latin probabilis → probabilitatem (hihető, plauzibilis, jóváhagyható, megbízható), aminek a töve probo, ebből származik a próba szavunk is. Egy vélemény hihetőségét, igazolhatóságát jelentette, hogy kiállja-e a próbát. Bár a görögöknek is létezett rá szavuk: eikos (εικος), ami azt jelentette, hogy „várható, bizonyos fokú bizonyossággal”, ők sokkal jobban szerették az abszolút igazságot, ami az ő definíciójuk szerint logikával, dedukcióval bizonyítható axiómákból.
A platonisták szerint a matematikai fogalmak önálló létezéssel bírnak, és e fogalmak analízisével ismerhetőek meg. A valószínűségi érvelést lenézték a korai filozófiában: Arisztotelész a Phaidónban panaszkodik azokra a filozófusokra, akik „[…] bár hihetően beszélnek, […] nem azt mondják, ami igaz”.
Szókratész szerint pedig egy matematikus, aki valószínűségekkel érvel, geometriában nem ér semmit.
A „véletlen” ősidők óta a szerencsejátékokkal és a jövendőmondással, illetve az istenek szeszélyeivel fonódott össze, nem éppen elősegítve a valószínűség tudományos előmenetelét. A görögöknek volt szerencse istennőjük is: Tükhé (Τύχη). Ő volt a szerencsejátékosok patrónája (római verziója: Fortuna), akivel a többi istenség sem mert vitába szállni. De Tükhé színre lépését megelőzte egy még ősibb mítosz: a három testvér, Zeusz, Poszeidón és Hadész sorsot vetett, hogy eldöntsék, ki mit fog uralni a világban – így kapta Zeusz az eget, Poszeidón a vizeket és Hadész az alvilágot.
Létezik még egy görög szó, amit a véletlen szinonimájaként használunk, ez pedig a sztochasztikus. A στόχος jelentése „célzás, találgatás”, de a stochastic szó először 1662-ben bukkant fel az Oxford University Press szótárában „találgatással, feltételezéssel kapcsolatos” jelentésben.
Valójában a valószínűségelmélethez nagyjából semmi nem állt készen az ókori görögök idejében, legalábbis Európában.
Vannak, akik szerint a hinduk már rendelkeztek a megfelelő tudással: Arisztotelész idejében (Kr. e. a 4. században) íródott a Mahábhárata című eposz, amely többek között taglalja Nala király kalandjait.
A leírás szerint Nala megszállott szerencsejátékos volt, aki a királyságát is elveszítette kockán. Ezután elszegődött szekérhajtónak Rituparna királyhoz, aki „birtokolta a kocka tudományát”, és egy fa egyetlen ága alapján meg tudta becsülni, hány levél és hány gyümölcs terem rajta. Nalát is megtanította erre, aki az újdonsült tudással felvértezve hazatért, és visszanyerte kockán a birodalmát.
A mítosz arra enged következtetni, hogy a hinduknak már megvolt az elégséges aritmetikai és kombinatorikai hátterük ahhoz, hogy matematikai fogalmi keretek között gondolkodhassanak valószínűségekről. Tőlük vették át az arabok, Európába pedig olasz matematikusokon keresztül érkezett meg.
Közülük Luca Pacioli szolgáltatta az első feljegyzett problémát:
A probléma egy olyan szerencsejátékra vonatkozik, amelyben két játékosnak minden fordulóban egyenlő esélye van a győzelemre. A játékosok egyenlő mértékben járulnak hozzá a nyereményalaphoz, és előre megállapodnak abban, hogy az a játékos, aki először nyer bizonyos számú fordulót, a teljes nyereményt megkapja.
Tegyük fel, hogy a játék külső körülmények miatt megszakad, mielőtt bármelyik játékos győzelmet aratna. Hogyan osztjuk fel ekkor igazságosan a nyereményalapot? Hallgatólagosan elfogadott, hogy a felosztásnak valahogyan az egyes játékosok által megnyert fordulók számától kell függenie, úgy, hogy a győzelemhez közel álló játékos nagyobb részt kap a kasszából. A probléma azonban nem pusztán számítási probléma, hanem annak eldöntése is, hogy mi is a „fair” elosztás.
Pacioli jó matematikusnak számított a maga idejében, ráadásul jóbarátja volt Leonardo da Vincinek, aki illusztrálta is Pacioli egyik geometriakönyvét.
Da Vinci másik jóbarátja Fazio Cardano ügyvéd és matematikus volt, aki a Paviai Egyetemen és a milánói Piatti Alapítványnál is oktatott geometriát. Fia, Girolamo Cardano a reneszánsz egyik legismertebb matematikusa lett. Cardanót apja szintén ügyvédnek szánta, de ő orvosnak tanult Paviában, ahol nagyon hamar szerencsejáték-függő lett.
Állítólag e szenvedélye – és híresen nehéz természete – miatt nem vették fel a Milánói Orvosi Kamarába, ezért hivatalosan nem praktizálhatott. Egy kis faluba, Saccóba költözött, ahol engedély nélkül is sikerült egy mérsékelten sikeres orvosi praxist kialakítania. Mindennap játszott, és minden létező segítségre szüksége volt a játékasztaloknál (matekos és nem matekos segítségre: amikor valaki meggyanúsította azzal, hogy csal, akkor előkapta a kését, és megvágta vele az illető arcát).
Az 1530-as évek elején átvette apjától a Piatti Alapítványnál betöltött posztot mint geometriaprofesszor, de szerencsejáték-függőségét az orvosi munkájából finanszírozta. (Amilyen nehezen kapott végül engedélyt a praktizálásra, olyannyira keresett orvos lett később, Olaszországon túl Párizsba és Skóciába is elért a híre.) Kellőképp tanulmányozva a játékot, hamarosan meg is írta könyvét Liber de ludo aleae (A szerencsejátékról) címmel – egyesek szerint már 1525-ben befejezte, és aztán 1565-ben átírta az egészet –, amely az első munka volt a valószínűségszámításról.
A könyv nemcsak azt taglalja, hogyan nyerhet többet az ember fogadásokon a matematika segítségével, de hathatós csalási módszerekről is beszámol.
Ő volt az első, aki bevezette a klasszikus kedvező/összes képletet:
„Tételezzük fel, hogy valamely véletlen folyamatnak sok, egyformán valószínű végkimenetele van, ezek közül egyesek kedvezőek (vagyis nyerők), mások kedvezőtlenek (vagyis veszteséget jelentenek) számunkra. Ekkor a nyerő végeredmény elérésének valószínűsége egyenlő a számunkra kedvező eredmények részarányával.”
Ugyan sok mindenre rájött, de Pacioli problémáját ő sem közelítette meg jól, ám kikövezte az utat a soron következő matematikusoknak. Jó száz évvel később, 1654-ben De Méré lovag felkereste Blaise Pascalt az osztozkodási problémával. Pascal nem volt biztos a dolgában, ezért megvitatta a kérdést a kor másik nagy matematikusával, Pierre de Fermat-val – sokan ettől a levelezéstől datálják a valószínűségszámítás megszületését.
Nézzük a feladványt és a megfejtését:
Tekintsünk egy olyan verziót, ahol négy fordulót kell összesen megnyerni, és minden fordulót azonos eséllyel nyeri A és B játékos is (tehát például egy szabályos érmét dobnak fel minden körben). Tegyük fel, hogy A játékos már nyert kettőt, míg B játékos egyet. Ezen a ponton szakítják meg a játékot. Hogyan kellene szétosztani a nyereményt?
Ekkor A játékosnak kettő, míg B játékosnak három fordulót kell megnyernie a végső győzelemhez, tehát maximum négy fordulót kell még lejátszaniuk. A lehetséges kimenetelek:
AAAA AAAB AABA AABB ABAA ABAB ABBA ABBB BAAA BAAB BABA BABB BBAA BBAB BBBA BBBB
Ezek mind egyformán valószínűek, és ebből öt esetben (félkövér betűs) nyer B, és 11 esetben A játékos, tehát 5:11 arányban kell elosztani a nyereményalapot. Felmerülhet (jogosan), hogy a fent felsorolt kimenetelek mind négyfordulósak, holott legfeljebb négy forduló van hátra. Hiszen ha A játékos nyer kapásból még kettőt, akkor ott vége van a játéknak, tehát nem lesznek olyan verziók, hogy AABB, AAAB stb. Az AA-nak a valószínűsége 1/4, a háromfordulós befejezéseké 1/8, míg a négyfordulósoké 1/16. Hogyan jött ki akkor a fenti számolás, és egyáltalán jó-e?
Valójában az történik, hogy azokat a négyfordulósokat, amelyek hamarabb véget érnek, össze lehet vonni, tehát az AABB, AABA, AAAB, AAAA azok az AA-nak „le nem játszott alesetei”, amelyek együttesen kiadják az AA-t valószínűségben is (4 · 1/16 = 1/4). Azért írtunk ki minden esetet négy fordulóra nézve, hogy egyforma valószínűségű eseteink legyenek, és így lehetett használni a kedvező/összes képletet.
Ez a fajta gondolkodás nem létezett Pascal és Fermat levelezése előtt.
Minden korábbi próbálkozó úgy gondolkodott, hogy csak az számít, hogy addig hány fordulót nyertek meg a játékosok (és annak arányában kell elosztani a nyereményalapot), az nem, hogy még hányat kellett volna megnyerniük a győzelemhez. A fair elosztásnak ez az új koncepciója előrevetítette a várható érték fogalmát.
De Pascalnak nem egyszerűen csak a probléma megoldását – és egyéb matematikai hozzájárulásait – köszönhetjük, hanem azt is, hogy új jelentést adott a probabilitae (valószínűség, probability) szónak. Annak idején a reneszánszban a természeti jeleket bizonyítékként kezdték kezelni, és a kombinatorikai problémák sem a szerencsejátékokból, hanem a jelek alkimista értelmezéséből származnak. A jelek tehát alátámasztották a véleményeket, így azok valószínűek lettek.
Ezekben az időkben a kemény tudományok – mint a mechanika vagy az optika – már elváltak az alacsonyabb rendű és tekintélyelvű orvoslástantól, illetve alkímiától, a valószínűség pedig egyértelműen az utóbbiakhoz tartozott. Így a szó maga többféle konnotációval bírt: elsősorban azt az autoritást jelölte, aki jóváhagyta a véleményt, másodsorban magát a véleményt jelentette. Harmadrészt pedig egy némileg pejoratív jelentése volt, mégpedig hogy a kérdéses állítás csak „valószínű”, és nem bizonyított (azaz nem tudományos).
Pascal viszont beemelte a matematikába azáltal, hogy megalapozta a valószínűségi számításokat. Nem mintha akkortájt bármilyen tudomány különösebben elismerésre méltó lett volna: az anekdota szerint Pascalt, aki társaságban egyszer egy matematikai gondolatmenetet mutatott be, megkérdezték:
„Uram, ön matematikus?” (Értsd: nem közénk való?) Mire a válasz: „Nem, kérem, én úriember vagyok.” (Pascal apja gazdag ügyvéd volt.)